Astronomía

Determinación de la distancia desde el semieje mayor y la excentricidad

Determinación de la distancia desde el semieje mayor y la excentricidad


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Estoy tratando de obtener la distancia cubierta por un objeto en órbita alrededor de la Tierra dentro de un período de tiempo específico después de su paso por el perigeo. El objeto está en una órbita elíptica con una excentricidad de 0,2 y tiene un eje semi-mayor de 9600 km. ¿Dónde buscaría la posición de los objetos 90 minutos después de que pasa su perigeo? Gracias por cualquier consejo


Suponiendo que la masa del objeto es insignificante en comparación con la masa de la Tierra, puede derivar el período orbital $ T $ de la tercera ley de Keplero:

$ frac {T ^ 2} {a ^ 3} = frac {4 pi ^ 2} {G (m_E + m_b)} approx frac {4 pi ^ 2} {Gm_E}, $

donde $ a $ es la semi-mayor. Con $ T $, para cada tiempo istant también conoce la anomalía media $ M $, dada por (suponga $ t = 0 $ en el perigeo):

$ M (t) = frac {2 pi} {T} t $.

Resolver numéricamente la ecuación de Keplero para la anomalía excéntrica $ E $ (donde $ e $ es la excentricidad)

$ M = E - e sin E $

y luego use la siguiente ecuación para derivar el verdadero anonaly $ nu $, que es el ángulo entre la dirección de la periapsis y la posición actual del cuerpo, como se ve desde la Tierra:

$ cos nu = frac { cos E - e} {1 - e cos E} $ y $ sin nu = frac { sqrt {1-e ^ 2} sin E} {1 - e cos E} $.

La distancia a la Tierra viene dada por la ecuación de la órbita.

$ r = frac {a (1-e ^ 2)} {1 + e cos nu} $.

Si no me equivoco con el cálculo, debería ser:

$ T = 9364 s = 2.6 horas. $

$ M (90min) = 207,60 ° $

$ E (90 min) = 203,11 ° $

$ nu (90 min) = 198,95 ° $

$ r = 11'366 kilometros $

Para obtener la distancia recorrida, debe calcular la integral de línea de la ecuación de la órbita.


@Dario_Panarello Creo que lo que estás diciendo es correcto para un observador geocéntrico no giratorio, pero el radio de la Tierra es bastante grande en comparación con la órbita, así que no creo que la aproximación geocéntrica funcione bien.

No tengo una respuesta, pero creo que la solución se parece a esto:

donde el círculo azul claro es la Tierra, el pequeño punto azul es el geocentro, el punto negro en el círculo azul es el centro de la elipse, la elipse negra es la órbita del satélite y los dos puntos negros en la elipse son el perigeo y las posiciones finales del satélite respectivamente.

Incluso teniendo en cuenta la rotación de la Tierra en el marco de tiempo de 90 minutos, no estoy seguro de que nadie en la Tierra pueda ver el satélite tanto en el perigeo como en su ubicación final.

Estoy trabajando en una respuesta más completa en https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/STACK/bc-solve-astronomy-13635.m


Determinación de la distancia desde el semieje mayor y la excentricidad - Astronomía

El eje semi-menor, B, es la mitad del diámetro más corto de una elipse. Junto con el eje semi-mayor, ay excentricidad, mi, forma un conjunto de valores relacionados que describen completamente la forma de una elipse:

En coordenadas cartesianas (x, y), una elipse es la solución de:

o en coordenadas polares (r, θ):

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Semieje mayor

En geometría, el eje mayor de una elipse es el diámetro más largo: una línea (segmento de línea) que pasa por el centro y ambos focos, con extremos en los puntos más anchos de la forma. La semieje mayor es la mitad del eje mayor y, por lo tanto, se extiende desde el centro, a través de un foco y hasta el borde de la elipse, esencialmente, es el radio de una órbita en los dos puntos más distantes de la órbita. Para el caso especial de un círculo, el semieje mayor es el radio. Uno puede pensar en el semi-eje mayor como una elipse radio largo.
La longitud del semieje mayor a de una elipse está relacionada con la longitud del eje semi-menor B a través de la excentricidad mi y el recto semi-latus , como sigue:


La semi-eje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas. Por lo tanto, es la distancia desde el centro a cualquier vértice (punto de inflexión) de la hipérbola.
Se puede obtener una parábola como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que el otro puede moverse arbitrariamente lejos en una dirección, manteniendo reparado. Así y tienden al infinito, a más rápido que B.


Elipse: excentricidad

Un círculo se puede describir como una elipse que tiene una distancia del centro a los focos igual a 0. Cuanto mayor sea la distancia entre el centro y los focos, determinará la ovalidad de la elipse. Por lo tanto, el término excentricidad se utiliza para referirse a la ovalidad de una elipse.

Si una elipse es casi circular, tiene una excentricidad cercana a cero. Si una elipse tiene una excentricidad cercana a una, tiene un alto grado de ovalidad.

La figura 1 muestra una imagen de dos elipses, una de las cuales es casi circular con una excentricidad cercana a cero y la otra con un mayor grado de excentricidad.

La definición formal de excentricidad es:

EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE:

La excentricidad (e) de una elipse es la relación entre la distancia del centro a los focos (c) y la distancia del centro a los vértices (a).

A medida que la distancia entre el centro y los focos (c) se acerca a cero, la razón de c a se acerca a cero y la forma se acerca a un círculo. Un círculo tiene excentricidad igual a cero.

A medida que la distancia entre el centro y los focos (c) se acerca a la distancia entre el centro y los vértices (a), la razón de c a se acerca a uno. Una elipse con un alto grado de ovalidad tiene una excentricidad cercana a uno.

Usemos este concepto en algunos ejemplos:

Paso 1: Determine los valores para la distancia entre el centro y los focos (c) y la distancia entre el centro y los vértices (a).

Longitud de un: La ecuación dada para la elipse está escrita en forma estándar. Dado que el eje mayor es 2a y el eje menor menor es 2b, entonces a 2> b 2, por lo tanto a 2 = 16.

Longitud de c: Para encontrar c, se puede usar la ecuación c 2 = a 2 + b 2 pero se debe determinar el valor de b. De nuestra discusión anterior, b 2 = 9. Encuentre by resuelva para c.

c 2 = 4 2 & # x2212 3 2 & # x2192 c 2 = 7 & # x2192 c = 7

Paso 2: Sustituye los valores de cy a en la ecuación de excentricidad.


Determinación de la distancia desde el semieje mayor y la excentricidad - Astronomía

Soporte para el modelo heliocéntrico

Aunque Copérnico estableció los principios básicos del modelo heliocéntrico, se consideró simplemente como una forma alternativa de pensar sobre el universo, sin ninguna certeza de que la Tierra realmente se moviera. Dos científicos posteriores, Galileo y Kepler, dieron varios argumentos sólidos a favor del modelo heliocéntrico.

Galileo dio evidencia de observación:

Lunas de Júpiter: dio evidencia clara de objetos más pequeños rodeando objetos más grandes (aunque nadie sabía por qué - ver también)
Fases de Venus: dio evidencia clara de que Venus gira alrededor del Sol
Manchas solares en el sol: dio una clara evidencia de que el cielo no es "perfecto"
Cráteres y montañas
en la Luna :
dio una clara evidencia de que la Luna es otro "mundo"
Las tres leyes de Kepler (versión cualitativa)
Primera ley: Los planetas viajan en órbitas elípticas con el Sol en un foco
Segunda ley: Los planetas se mueven más lentamente en sus órbitas cuando están lejos del Sol que cuando están cerca del Sol.
Tercera Ley: Los planetas con órbitas más grandes se mueven más lentamente que los planetas con órbitas más pequeñas.
  • 18 de septiembre: mayor alargamiento oriental de Mercurio (26 grados)
  • 29 de octubre: Mercurio en su mayor alargamiento occidental (18 grados)
  • 12 de enero - Mercurio en su mayor alargamiento hacia el este (19 grados)
  • 21 de febrero: Mercurio en su mayor alargamiento occidental (27 grados)
  • 04 de mayo - Mayor alargamiento oriental de Mercurio (20 grados)
  • 21 de junio: Mercurio en su mayor alargamiento occidental (22 grados)

Al medir el mayor alargamiento de Mercurio desde muchos lugares a lo largo de la órbita de la Tierra, se puede determinar cualquier variación en la distancia de Mercurio al Sol.

La situación de los planetas exteriores es más difícil, pero se puede hacer. Kepler lo hizo observando el planeta exterior en pares de momentos separados por una rotación sideral del planeta. Aquí hay un resumen de cómo se hace esto, para un par de observaciones de Marte:

Determinación de la distancia del planeta exterior al Sol:

Tome dos medidas del alargamiento (ángulo del Sol) de Marte, un período sidéreo (687 días) de diferencia. La Tierra está en la ubicación MI' en el momento de la primera observación, da una vuelta alrededor de su órbita y regresa a la ubicación mi (casi completando dos órbitas) después de que Marte haya dado una vuelta.

La siguiente figura muestra la situación a mayor escala, con los ángulos etiquetados. Los dos ángulos de alargamiento son e y e ', y también conocemos el ángulo norte, que es solo el número de grados menos que dos órbitas completas que hace la Tierra en 687 días. Deberías poder demostrar que norte = 42,89 grados.

Dado que el triángulo D SEE 'es isoceles, podemos determinar a, (debería poder demostrar que es 68.56 grados) y, por lo tanto, la longitud EE ' (use la ley de los senos para demostrar que es 0,73 AU). Reste a de e y e ', lo que nos permite resolver el triángulo D EPE'. Finalmente, usando la ley de los cosenos para el triángulo D SPE', podemos determinar la distancia r.

  • Semieje mayor a = la mitad del eje largo de la elipse
  • Eje semi-menor B = la mitad del eje corto de la elipse
  • Excentricidad mi = distancia de enfoque F desde el centro, en unidades de a . La excentricidad varía de 0 (un círculo) a 1 (una parábola).
  • Suma de distancias de un punto en la elipse desde los dos focos ( r y r ') es una constante: r + r '= 2 una .
  • Como descubrió Kepler, los planetas tienen una órbita que es una elipse con el Sol en un foco. En los dibujos de arriba, el Sol estaría enfocado F. Habría nada en absoluto en el foco F '.
  • Cuando el planeta está en posición A en la elipse (más cercana al Sol), está en perihelio .
  • Cuando el planeta está en posición A'en su órbita (más alejada del Sol), está en afelio

Kepler utilizó medidas cuidadosas (por Tycho Brahe) para medir las órbitas de los planetas y mostrar que ¡La Tierra se Mueve! Las leyes de Kepler lo demuestran cuantitativamente que la verdadera situación viene dada por un modelo heliocéntrico en el que los planetas giran alrededor del Sol. Kepler demostró que los planetas se mueven en elipses. Aprendimos los términos importantes para las características de la elipse: foco, semi-eje mayor, semi-eje menor, excentricidad, y para órbitas elípticas, los términos perihelio y afelio. Examinamos las características y fórmulas matemáticas de las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola).

Kepler pensó que había un universo mecánico de esferas de cristal, dispuestas armónicamente (en ciertas proporciones, relacionadas con sólidos geométricos regulares), pero veremos la próxima vez que Newton fue capaz de poner todo sobre una base física firme con su Ley de Universal. Gravitación.


Calcule el ángulo de la trayectoria de vuelo dado el semieje mayor, la excentricidad y la distancia desde el punto focal

Un método para calcular el ángulo implica el uso de la ley de reflexión de la elipse. La luz de un foco se refleja en la elipse hacia el otro foco.

Así, en la siguiente imagen (del autor), el vector radial del foco $ F_1 $ se refleja en $ P $ en el segundo foco $ F_2 $, formando un triángulo cuyo tercer lado es la línea entre los focos.

Su ángulo de vuelo $ psi $ es el ángulo de incidencia entre el vector radial y la línea punteada que es perpendicular a la trayectoria de vuelo (tangencial), y también el ángulo de reflexión hacia el segundo foco. Por tanto, el ángulo del triángulo en $ P $ mide $ 2 psi $.

Ahora aplicamos la Ley de los cosenos a este triángulo:

En una órbita circular tienes $ epsilon = 0 $ y $ r = alpha $, forzando el coseno a $ 1 $ como se esperaba. Para una órbita elíptica cuando estás en el eje menor ($ r = alpha $) obtienes una fórmula para el máximo ángulo de vuelo:


Determinación de la distancia desde el semieje mayor y la excentricidad - Astronomía

para cualquier elipse:
focus (plural: foci): puntos de simetría dentro de la elipse
eje mayor: el eje largo de la elipse
eje menor: el eje corto de la elipse
semi-eje mayor (a): la mitad de la longitud del eje mayor
excentricidad: una medida de la desviación de la circularidad

asumiendo una órbita elíptica con el cuerpo principal en un foco:
periapse: el punto más cercano en la elipse al foco ocupado por el primario
apoapse: el punto más distante en la elipse del foco ocupado por el primario
inclinación: el ángulo entre la órbita elíptica y un plano de referencia

la ecuación para una elipse es: r = a (1-e 2) / [1 + e cos (theta)]
r = distancia desde el cuerpo en órbita hasta el foco principal
a = semieje mayor
e = excentricidad
theta = posición angular en órbita (theta = 0 definido en el periapso)

¿Cuáles son las distancias orbitales más cercanas y más lejanas de la Tierra al Sol (suponga que conoce a, e)?

más cercano: en el perihelio (periapso alrededor del sol), theta = 0
así, rperi = a (1-e) = 1 AU * (1 - 0.017) = 0.983 AU
más lejos: en el afelio (apoapse alrededor del sol), theta = 180
así, raph = 1 (1 + e) ​​= 1 AU * (1 + 0.017) = 1.017 AU

Dado que la cantidad de luz recibida (I) del Sol cambia con el cuadrado de la distancia al Sol, ¿cuál es el cambio relativo en la insolación solar (cantidad de luz solar recibida) del perihelio al afelio?

I_perihelio / I_aphelio = (1.017 / 0.983) 2 = 1.070

para que la tierra reciba

7% más de luz solar en el perihelio (alrededor del 6 de enero) que en el afelio (alrededor del 6 de julio).


Distancia orbital media

Si un planeta orbita alrededor del Sol con un eje semi-mayor, ay excentricidad orbital, mi, a menudo se afirma que la distancia promedio del planeta al Sol es simplemente a. Esto solo es cierto para las órbitas circulares (mi = 0) donde el planeta mantiene una distancia constante del Sol, y esa distancia es a.

Imaginemos un planeta hipotético muy parecido a la Tierra que tiene una órbita perfectamente circular alrededor del Sol con a = 1.0 AU y mi = 0. Es fácil ver en este caso que en todo momento, el planeta estará exactamente a 1.0 AU del Sol.

Sin embargo, si el planeta orbita al Sol en una órbita elíptica en a = 1 AU y mi & gt 0, encontramos que el planeta orbita más lentamente cuando está más lejos del Sol que cuando está más cerca del Sol. Por lo tanto, es de esperar que la distancia media promediada en el tiempo sea superior a 1,0 AU. De hecho, este es el caso.

Los elementos orbitales osculantes actuales de la Tierra nos dan:

a = 0,999998 y mi = 0.016694

La distancia promedio entre la Tierra y el Sol es así:

Mercurio, el planeta más interno, tiene la órbita más excéntrica de todos los planetas principales:


Su respuesta no tiene sentido a menos que especifique en qué UNIDADES se encuentra.

Suponiendo que se refería a km, su respuesta es claramente incorrecta.

Su respuesta no tiene sentido a menos que especifique en qué UNIDADES se encuentra.

Suponiendo que se refería a km, su respuesta es claramente incorrecta.

Puede alguien ayudarme con esto?

Puede alguien ayudarme con esto?

Seguro. ¿Puede mostrarnos los pasos que utilizó para calcular la distancia del perihelio?

Primero necesitas calcular 1-e. Luego, debe multiplicar el resultado de eso por a (el semieje mayor de la órbita).

Aquí hay una pista: en este ejemplo, e es un número muy pequeño, ¿está de acuerdo? Por lo tanto, 1-e debería estar bastante cerca de 1. Si eso es cierto, entonces a * (1-e) debería estar bastante cerca de a. La respuesta que obtenga debe estar cerca de la longitud del semieje mayor. En otras palabras, la distancia más cercana entre la Tierra y el Sol no se desvía mucho de la distancia promedio entre la Tierra y el Sol. El hecho de que la distancia Tierra-Sol no cambie mucho a medida que gira alrededor de su órbita sugiere que la órbita no se desvía demasiado de la circularidad. En otras palabras, no es muy elíptico (recuerde que e = 0 sería un círculo perfecto, por lo que e muy pequeño significa casi circular).

Calcule la distancia Tierra-Sol durante el perihelio (en la aproximación más cercana a la Tierra) La órbita de la Tierra tiene un eje semi-mayor de a = 1.496 × 108 km y
excentricidad de e = 0.017. ¿Está la órbita de la Tierra lejos de ser circular? Explicar.

La fórmula a utilizar es: rP = a (1 - e)

Fui (1 - e) cuál sería 1 - 0.017 ¿Correcto?

Entonces solo fui a x 0.017 = 2.74

Calcule la distancia Tierra-Sol durante el perihelio (en la aproximación más cercana a la Tierra) La órbita de la Tierra tiene un eje semi-mayor de a = 1.496 × 108 km y
excentricidad de e = 0,017. ¿Está la órbita de la Tierra lejos de ser circular? Explicar.

La fórmula a utilizar es: rP = a (1 - e)

Fui (1 - e) cuál sería 1 - 0.017 ¿Correcto?

Entonces solo fui a x 0.017 = 2.74

Sí, (1 - e) = (1 - 0.017) = 0.983. Eso es correcto.

Es la siguiente parte que no tiene ningún sentido. La fórmula es a * (1-e), pero por alguna razón ha escrito a * e. No entiendo por qué. No solo eso, sino que la respuesta tampoco tiene sentido. Adquiera el hábito de incluir unidades en todos sus pasos de cálculo. Es crucial.


Elipses en física

Reflectores elípticos y acústica

Si la superficie del agua se altera en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares creadas por esa perturbación, después de ser reflejadas por las paredes, convergerán simultáneamente en un solo punto & # 8212 el segundo foco. Esto es una consecuencia de que la longitud total del recorrido es la misma a lo largo de cualquier trayectoria de rebote en la pared entre los dos focos.

De manera similar, si se coloca una fuente de luz en un foco de un espejo elíptico, todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan en el segundo foco. Dado que ninguna otra curva suave tiene tal propiedad, se puede utilizar como una definición alternativa de una elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro, toda la luz se reflejaría de regreso al centro). Si la elipse se gira a lo largo de su eje mayor para producir un espejo elipsoidal (específicamente, un esferoide alargado), esta propiedad será mantenga todos los rayos fuera de la fuente. Alternativamente, se puede usar un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica para enfocar la luz de una lámpara fluorescente lineal a lo largo de una línea del papel, tales espejos se usan en algunos escáneres de documentos.

Las ondas sonoras se reflejan de manera similar, por lo que en una gran sala elíptica, una persona que se encuentre en un foco puede escuchar a una persona que se encuentre en el otro foco notablemente bien. El efecto es aún más evidente bajo un techo abovedado con forma de sección de un esferoide alargado. Tal habitación se llama cámara de susurros. El mismo efecto se puede demostrar con dos reflectores con la forma de las tapas de los extremos de un esferoide de este tipo, colocados uno frente al otro a la distancia adecuada. Algunos ejemplos son el National Statuary Hall en el Capitolio de los EE. UU. (Donde se dice que John Quincy Adams usó esta propiedad para espiar asuntos políticos), en una exhibición de sonido en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago, frente a la Universidad de Illinois en el Auditorio Urbana-Champaign Foellinger, y también en una sala lateral del Palacio de Carlos V, en la Alhambra.

Órbitas planetarias

En el siglo XVII, Johannes Kepler explicó que las órbitas por las que viajan los planetas alrededor del Sol son elipses en su primera ley del movimiento planetario. Más tarde, Isaac Newton explicó esto como un corolario de su ley de gravitación universal.

De manera más general, en el problema gravitacional de dos cuerpos, si los dos cuerpos están unidos entre sí (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipses similares, siendo el baricentro común uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquiera de las elipse no tiene ningún significado físico conocido. Curiosamente, la órbita de cualquiera de los cuerpos en el marco de referencia del otro también es una elipse, con el otro cuerpo en un foco.

Las órbitas elípticas keplerianas son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya fuerza es inversamente proporcional a la distancia. Así, en principio, el movimiento de dos partículas con carga opuesta en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión ignora las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y los efectos cuánticos que se vuelven significativos cuando las partículas se mueven a alta velocidad).

Osciladores armónicos

La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones es también una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un péndulo largo que se puede mover libremente en dos dimensiones, o de una masa unida a un punto fijo por un resorte perfectamente elástico. Sin embargo, a diferencia de las órbitas keplerianas, estas "órbitas armónicas" tienen el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse y tienen ecuaciones de movimiento bastante simples.

Visualización de fase

En electrónica, la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar alimentándolas a las entradas vertical y horizontal de un osciloscopio. Si la pantalla es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están desfasadas.

Engranajes elípticos

Dos engranajes con el mismo contorno elíptico, cada uno girando alrededor de un foco y colocado en el ángulo adecuado, girarán suavemente mientras mantienen el contacto en todo momento. Alternativamente, se pueden conectar mediante una cadena de eslabones o una correa de distribución. Dichos engranajes elípticos se pueden utilizar en equipos mecánicos para variar el par o la velocidad angular durante cada vuelta del eje motriz.

Óptica

En un material que es ópticamente anisotrópico (birrefringente), el índice de refracción depende de la dirección de la luz. La dependencia se puede describir mediante un elipsoide de índice. (Si el material es ópticamente isotrópico, este elipsoide es una esfera).


Hamburgo: Friedrich Perthes e I.H. Besser, 1809.

Primera edición de la obra que, “con el Disquisitiones [Arithmeticae, 1801], estableció su reputación como un genio matemático y científico de primer orden ”(DSB). "La Theoria motus Siempre se incluirá entre las grandes obras cuya aparición marca una época en la historia de la ciencia a la que se refieren. Los procesos detallados en él no son menos notables por su originalidad e integridad que por la forma concisa y elegante en que el autor los ha expuesto. De hecho, puede considerarse como el libro de texto del que se han derivado principalmente esos métodos de investigación poderosos y refinados que caracterizan a la astronomía alemana y sus representantes del siglo XIX, Bessel, Hansen, Struve, Encke y Gerling ... Fue cuarenta años antes los métodos de la Theoria motus se convirtió en la posesión común de todos los astrónomos ”(Dunnington, Carl Friedrich Gauss : Titán de la ciencia (2004), pág. 91). “En este trabajo, Gauss desarrolló sistemáticamente el método de cálculo de la órbita a partir de tres observaciones que había ideado en 1801 para localizar el planetoide Ceres, el primer descubrimiento de los 'asteroides', que G. Piazzi había descubierto y perdido en enero de 1801. Gauss predijo dónde se encontraría el planetoide a continuación, utilizando métodos numéricos mejorados basados ​​en mínimos cuadrados y una teoría de la órbita más precisa basada en la elipse en lugar de la aproximación circular habitual. Los cálculos de Gauss, completados en 1801, permitieron al astrónomo Heinrich W. M. Olbers encontrar a Ceres en la posición predicha, una hazaña notable que cimentó la reputación de Gauss como genio científico y matemático. Gauss encontró tan atractiva la reputación que le había ganado su trabajo astronómico que decidió emprender una carrera en astronomía y se convirtió en director del Observatorio de Gotinga en 1807 ”(Norman). Además de proporcionar una herramienta para los astrónomos, el método de cálculo de órbitas de Gauss también ofreció una forma de reducir la inexactitud de los cálculos derivados del error de medición: el método de los mínimos cuadrados, "el automóvil del análisis estadístico moderno" y el origen de "los más famosos disputa prioritaria en la historia de la estadística ”(Stigler). El matemático francés Adrien-Marie Legendre había publicado el método de los mínimos cuadrados, aunque sin justificación, en 1805 en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comète, pero Gauss afirma en el presente trabajo que tenía el método desde 1795.

“El 1 de enero de 1801, Giuseppe Piazzi en Palermo descubrió un cometa o planeta en la constelación de Tauro, detectable sólo telescópicamente. Lo observó hasta el 11 de febrero, cuando la enfermedad interrumpió sus observaciones. Informó a tres astrónomos de su descubrimiento y en mayo envió sus observaciones detalladas a J.J. Lalande en París, pidiendo que se posponga la publicación.

“Desde la década de 1770, dos astrónomos, J.E. Bode de Berlín y Franz Xaver von Zach (1754-1832) de Gotha, habían considerado la idea de un planeta perdido entre Marte y Júpiter. Una serie numérica de J.D. Titius, publicada por Bode en 1772, dio distancias solares medias aproximadas de los planetas conocidos, pero predijo un planeta en esta "brecha". Recibió una sorprendente corroboración en 1781 con el descubrimiento de Urano, un planeta cuya órbita casi circular tenía un radio cercano al siguiente término después de Saturno en la serie. En otoño de 1800, Zach y otros astrónomos alemanes formaron una sociedad para promover la búsqueda sistemática del planeta perdido.

“En la primavera de 1801 surgió la pregunta: ¿podría ser el 'cometa' de Piazzi la cantera buscada? ¡Debe ser redescubierto! A partir de junio, los informes mensuales de Zach en un periódico que publicó, el Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde (en adelante, "MC’) Dio un relato en curso de la búsqueda.

“El número de julio informó de los esfuerzos de J.C. Burckhardt, en París, para poner una órbita a las observaciones de Piazzi. Las órbitas parabólicas, descubrió Burckhardt, eran órbitas circulares insatisfactorias que podían acomodar más datos. Propuso una órbita elíptica aproximada, pero de acuerdo con P.S. Laplace (1749-1827), sostuvo que una determinación precisa de la órbita requeriría más observaciones.

“A finales del verano y el otoño, el tiempo nublado impidió una búsqueda sistemática. En la edición de septiembre, Zach publicó las observaciones revisadas de Piazzi. Gauss, suscriptor del MC, se dedicó a determinar una órbita.

"La edición de noviembre de la MC contenía una revisión de las memorias de Piazzi sobre su descubrimiento. Al encontrar las trayectorias parabólicas sin esperanza, había derivado dos órbitas circulares con radios 2.7067 y 2.68626 unidades astronómicas. A partir del segundo de estos, Zach calculó una efemérides para noviembre y diciembre. Piazzi nombró al planeta Ceres Ferdinandea, honrando así al gobernante de Sicilia.

“Zach ahora recibió los resultados de Gauss, y a ellos dedicó todo su informe en la edición de diciembre. Gauss había calculado cuatro órbitas elípticas diferentes, cada una basada en un trío diferente de observaciones, los cuatro conjuntos de elementos estaban casi de acuerdo entre sí y con las 19 observaciones que Piazzi había considerado indudables. Gauss colocó el planeta en enero de 1801 alrededor de un cuadrante más allá del afelio y le asignó una excentricidad considerablemente más alta que la de Burckhardt, de modo que en diciembre de 1801 el planeta estaría 6 ° o 7 ° más al este de lo que implicaban las otras órbitas propuestas. Dio puestos para Ceres a intervalos de 6 días desde el 25 de noviembre hasta el 31 de diciembre.

“El tiempo siguió siendo poco propicio. Como informó Zach en la edición de enero de 1802 de la MC, en las primeras horas de la mañana del 7 al 8 de diciembre marcó una estrella muy cercana a la predicción de Gauss para Ceres, pero el mal tiempo de las noches siguientes impidió la verificación.

“Como informó en la edición de febrero de 1802, a principios del 1 de enero Zach descubrió el planeta a unos 6 ° al este de su posición de diciembre, y durante enero siguió su movimiento, que coincidía estrechamente con los elementos orbitales de Gauss. Wilhelm Olbers (1758-1840) también redescubrió el planeta, informando el hecho a los periódicos, donde Gauss leyó sobre él. La elipse de Gauss, exclamó Zach, era asombrosamente exacta. "Sin los ingeniosos esfuerzos y cálculos del Dr. Gauss, probablemente no hubiéramos vuelto a encontrar a Ceres, la parte más grande y hermosa del logro le pertenece" "(Escritos emblemáticos en matemáticas occidentales 1640-1940, págs. 317-8).

Según Kepler, la órbita de un cuerpo celeste es una sección cónica con foco en el centro del Sol. Para especificar su órbita se requieren cinco parámetros, o elementos, a saber: dos parámetros que determinan la posición del plano de la órbita del cuerpo en relación con la órbita de la Tierra la escala relativa de la órbita la excentricidad de la órbita o distancia perihelial, la distancia más corta desde la órbita hasta el centro del Sol y la "inclinación" relativa del eje principal de la órbita. Además de estos cinco parámetros, se necesita una sola vez cuando el objeto estaba en un punto particular de la órbita, de modo que se pueda calcular su ubicación en un momento dado. Gauss tuvo un total de 22 observaciones realizadas por Piazzi durante 41 días. Los datos de estas observaciones consistieron en un momento específico en el tiempo junto con dos ángulos que definen la dirección en la que se había visto el objeto en relación con un sistema astronómico de referencia definido por la esfera de estrellas fijas. En principio, cada una de estas observaciones definió una línea en el espacio, comenzando desde la ubicación de la ubicación de Piazzi en el momento de la observación y dirigida a lo largo de la dirección definida por los dos ángulos. Gauss tuvo que hacer correcciones para varios efectos como la rotación del eje de la Tierra, el movimiento de la órbita de la Tierra alrededor del Sol y posibles errores en las observaciones de Piazzi o en su transcripción. Gauss comenzó determinando una aproximación aproximada a la órbita desconocida, y luego la refinó a un mayor grado de precisión. Gauss utilizó inicialmente solo tres de las 22 observaciones de Piazzi, las del 1 de enero, el 21 de enero y el 11 de febrero. Las observaciones mostraron un movimiento retrógrado aparente desde el 1 de enero hasta el 11 de enero, tiempo en el que Ceres cambió a un movimiento hacia adelante. Gauss eligió una de las distancias desconocidas, la correspondiente a la posición intermedia de las observaciones, como objetivo de sus esfuerzos. Luego de obtener ese importante valor, determinó las distancias de la primera y tercera observaciones, y a partir de ellas las correspondientes posiciones espaciales de Ceres. A partir de las posiciones espaciales, Gauss calculó una primera aproximación de los elementos de la órbita. Utilizando este cálculo orbital aproximado, podría entonces revisar el cálculo inicial de las distancias para obtener una órbita más precisa, y así sucesivamente, hasta que todos los valores del cálculo fueran coherentes entre sí y con las tres observaciones seleccionadas. Los refinamientos posteriores en su cálculo ajustaron los parámetros iniciales para ajustar todas las observaciones de Piazzi de manera más fluida.

Gauss envió un manuscrito resumiendo sus métodos en una carta a Olbers fechada el 6 de agosto de 1802, solo siete meses después del descubrimiento de Ceres, se publicó solo siete años después en la edición de septiembre de 1809 de MC. Para entonces, Gauss había refinado tanto sus métodos de cálculo de órbitas que escribe en el prefacio de Theoria motus que "apenas queda rastro de semejanza entre el método por el cual se calculó por primera vez la órbita de Ceres y la forma dada en este trabajo".

"En 1809, el librero Perthes de Hamburgo publicó el libro de Gauss Theoria motus corporum coelestium en sectionibus conicis solem ambientium. El libro ... contiene la suma del trabajo de Gauss en astronomía teórica, pero no siempre describe los métodos reales que Gauss utilizó en su investigación. Como Disquisitiones arithmeticae, Theoria motus fue publicado en latín Gauss lo había escrito en alemán pero tuvo que traducirlo porque Perthes pensó que se vendería mejor. El tema de Theoria motus es la determinación de las órbitas elípticas e hiperbólicas de planetas y cometas a partir de un mínimo de observaciones y sin ningún supuesto superfluo o infundado ... Theoria motus Es sistemático hasta el punto de ser pedante consta de dos libros, uno con material preliminar y otro con la solución del problema general. El trabajo es el primer relato riguroso de los métodos de Gauss para calcular las órbitas de los cuerpos celestes, deducido directamente de las leyes de Kepler. Up to Gauss’s time, astronomers used ad hoc methods which varied from case to case, despite the fact that the theoretical foundations had been clear for more than 100 years. Gauss’s essential contribution consisted in a combination of thorough theoretical knowledge, the unusual algebraic facility with which he handled the considerable complications which occur in a direct development of these equations, and his practical astronomical experience” (Bühler, Gauss).

“It was Gauss in his Theoria motus who first connected probability theory to the method of least squares … The Theoria motus, which was written to explain how to calculate planetary positions, came into being because the methods available to the astronomers of the eighteenth century were not adequate to determine the orbit of the planet Ceres … Against this background it was natural for Gauss to concern himself with the problem of how to use redundant observations. It seems clear that the more observations available the more accurately will the orbit be known. Gauss said on the subject: ‘But in such a case, if it is proposed to aim at the greatest precision, we shall take care to collect and employ the greatest possible number of accurate places. Then, of course, more data will exist than are required: but all these data will be liable to errors, however small, so that it will generally be impossible to satisfy all perfectly. Now as no reason exists, why, from among those data, we should consider any six as absolutely exact, but since we must assume, rather, upon the principles of probability, that greater or less errors are equally possible in all, promiscuously since, moreover, generally speaking, small errors oftener occur than large ones it is evident, that an orbit which, while it satisfies precisely six data, deviates more or less from the others, must be regarded as less consistent with the principles of the calculus of probabilities, than one which, at the same time that it differs a little from those six data, presents so much the better an agreement with the rest. The investigation of an orbit having, strictly speaking, the maximum probability, will depend upon a knowledge of the law according to which the probability of errors decreases as the errors increase in magnitude: but that depends upon so many vague and doubtful considerations — physiological included — which cannot be subjected to calculation, that it is scarcely, and indeed less than scarcely, possible to assign properly a law of this kind, in any case of practical astronomy. Nevertheless, an investigation of the connection between this law and the most probable orbit, which we will undertake in its utmost generality, is not to be regarded as by any means a barren speculation’ (Goldstine, A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century , pp. 212-3).

In Section 186 of the present work, “Gauss writes: “Our principle, which we have made use of since the year 1795, has lately been published by Legendre in the work Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Paris, 1806, where several other properties of this principle have been explained, which, for the sake of brevity, we here omit.”

"La Theoria motus was originally written in German and completed in the autumn of 1806. In July 1806 Gauss had for some weeks at his disposal a copy of Legendre’s book before it was sent to Olbers for reviewing. It was not until 1807 that Gauss finally found a publisher, who, however, required that the manuscript should be translated into Latin. Printing began in 1807 and the book was published in 1809. Gauss had thus ample time to elaborate on the formulation of the relation of his version of the method of least squares to that of Legendre, if he had wished so.

“Gauss’s use of the expression “our principle” naturally angered Legendre who expressed his feelings in a letter to Gauss dated May 31, 1809. The original is in the Gauss archives at Gottingen it contains the following statement: “It was with pleasure that I saw that in the course of your meditations you had hit on the same method which I had called Méthode des moindres quarrés in my memoir on comets. The idea for this method did not call for an effort of genius however, when I observe how imperfect and full of difficulties were the methods which had been employed previously with the same end in view, especially that of M. La Place, which you are justified in attacking, I confess to you that I do attach some value to this little find. I will therefore not conceal from you, Sir, that I felt some regret to see that in citing my memoir p. 221 you say principium nostrum quojam inde ab anno 1795 usi sumus etc. There is no discovery that one cannot claim for oneself by saying that one had found the same thing some years previously but if one does not supply the evidence by citing the place where one has published it, this assertion becomes pointless and serves only to do a disservice to the true author of the discovery.”

“It therefore became important for Gauss to get his claim of having used the method of least squares since 1795 corroborated. He wrote to Olbers in 1809 asking whether Olbers still remembered their discussions in 1803 and 1804 when Gauss had explained the method to him. In 1812 he again wrote to Olbers saying “Perhaps you will find an opportunity sometime, to attest publicly that I already stated the essential ideas to you at our first personal meeting in 1803.” In an 1816 paper Olbers attested that he remembered being told the basic principle in 1803.

“In 1811 Laplace brought the matter of priority before Gauss, who answered that “I have used the method of least squares since the year 1795 and I find in my papers, that the month of June 1798 is the time when I reconciled it with the principle of the calculus of probabilities.” [In his Théorie analytique des probabilités (1812)] Laplace writes that Legendre was the first to publish the method, but that we owe Gauss the justice to observe that he had the same idea several years before, that he had used it regularly, and that he had communicated it to several astronomers” (Hald, pp. 394-5).

“The heat of the dispute never reached that of the Newton − Leibniz controversy, but it reached dramatic levels nonetheless. Legendre appended a semi-anonymous attack on Gauss to the 1820 version of his Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, and Gauss solicited reluctant testimony from friends that he had told them of the method before 1805. A recent study of this and further evidence suggests that, although Gauss may well have been telling the truth about his prior use of the method, he was unsuccessful in whatever attempts he made to communicate it before 1805. In addition, there is no indication that he saw its great general potential before he learned of Legendre’s work. Legendre’s 1805 appendix, on the other hand, although it fell far short of Gauss's work in development, was a dramatic and clear proclamation of a general method by a man who had no doubt about its importance” (Stigler).

Dibner 114n Norman 879 Sparrow, Milestones of Science 81 PMM 257n. Hald, A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930, 1998. Stigler, A History of Statistics, 1986 (see pp. 12-15, 55-61 & 145-6).

Large 4to (296 x 236 mm), pp. [i-iii], iv-xi, [1], [1], 2-227, [1, errata], 1-20 (tables) and one engraved plate (occasional minor stains). Contemporary calf-backed marbled boards.


Ver el vídeo: determinación de la distancia entre 2 puntos: lupita,taisuky y carlos (Febrero 2023).