Astronomía

¿Un universo plano significa no finito y circular?

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Estoy tratando de entender lo que significa un universo plano; Tratando de imaginar por qué los ángulos de los triángulos en los volúmenes esféricos son diferentes.

Debido a que mi cerebro no puede hacerlo bien y me molestó un poco, comencé a pensar en un hipotético universo circular unidimensional (un círculo), colocándome en el círculo.

Sin acceso a una vista "separada" de la segunda dimensión, con solo poder mirar hacia atrás y hacia adelante, no veo ninguna forma posible de determinar si mi universo es circular o no, aparte de ver mi propia espalda, si ya hay luz. viajó alrededor de todo el círculo.

Entonces, pensando en dos dimensiones (una esfera, supongo), todavía no puedo imaginar ver ningún tipo de círculo, curvatura o ángulo especial, porque imagino que las curvas se elevarían a una tercera dimensión "separada" que no está allí. ¿desde mi punto de vista?

No entiendo cómo se vería una curvatura sin acceso a una vista separada de la dimensión superior, ¿podría alguien aliviarme de este dolor de cabeza? - ¿Un universo plano realmente significa que no es circular?


Sí, un universo "plano" es infinitamente grande y, por tanto, "no circular". Creo que quizás estás confundiendo una geometría plana y "cerrada".

Universos planos

Un universo plano es un universo en el que tus buenas matemáticas de la escuela secundaria funcionan como se esperaba: los ángulos de un triángulo suman $ pi $ radianes (180 grados), la circunferencia de un círculo es $ pi $ veces su diámetro, las líneas paralelas nunca se encuentran, etc. En una analogía 2D, esto corresponde a la geometría de una tabla; de ahí el nombre de "piso".

Universos cerrados y abiertos

Pero "plano" no es la única geometría posible del espacio. En principio, puedes imaginar cualquier geometría loca que te guste. Sin embargo, nos gusta creer que el Universo es homogéneo y isotrópico, es decir, que se ve igual en todas partes y en todas direcciones. De hecho, parece estar en escalas suficientemente grandes. Si esto es cierto, entonces sólo hay otras dos posibilidades, a saber, "cerrado" (o "esférico") y "abierto" (o "hiperbólico").

Las geometrías no planas son difíciles de visualizar en 3D, pero la analogía 2D de un universo cerrado es la de una esfera, como la superficie de una bola. En la superficie esférica 2D, los ángulos de un triángulo suman más que 180º, la circunferencia de un círculo es menos que $ pi $ veces su diámetro, y las líneas que comienzan paralelas eventualmente se encuentran. Además, si viaja lo suficientemente lejos, volverá al punto de partida.

Lo mismo ocurre en el espacio esférico 3D. Incluso puede, en principio, ver su propia espalda, aunque eso requeriría 1) que comience a mirar exactamente al Big Bang, en cuyo caso la luz de su espalda llegará exactamente cuando el universo colapse en un Big Crunch, o 2) que tienes una cantidad algo afinada de energía oscura para ralentizar el colapso, sin hacer que se expanda demasiado rápido para que los fotones nunca te alcancen.

Midiendo la curvatura en teoría

Visualizar la esfera 2D es fácil cuando está incrustado en un espacio 3D. Pero para describir qué tan grande es su curvatura, en realidad no necesita el 3D incrustado. Puede simplemente hacer una medición geométrica y comparar su resultado con lo que esperaría en un espacio plano.

La cantidad que generalmente se usa para describir la magnitud de la curvatura es $ K $, que para una esfera 2D es igual a $ 1 / R ^ 2 $ dónde $ R $ es el radio de la esfera. Si dibuja un triángulo de área $ A $y mide sus tres ángulos $ theta_ {1,2,3} $, entonces la curvatura viene dada por $$ K = frac { sum_i ! theta_i - pi} {A}. $$ Esta fórmula es válida para espacios de cualquier número de dimensiones (superior a 1D).

Por ejemplo, considere un triángulo que va desde Ecuador a Gabón, al Polo Norte y de regreso a Ecuador. En este caso, la suma de los ángulos es 270º, o $ 3 pi / 2 $, y el área del triángulo es $1/8$ de la superficie terrestre, es decir $ 4 pi R_ mathrm {Tierra} ^ 2/8 $. Por tanto, la curvatura es $$ K = frac {3 pi / 2 - pi} {4 pi R_ mathrm {Tierra} ^ 2/8} = frac {1} {R_ mathrm {Tierra} ^ 2}. $$

Hay varias otras formas matemáticas de medir la curvatura. Por ejemplo, puede transportar en paralelo un vector a lo largo de dos rutas diferentes; solo en un espacio plano terminarán apuntando en la misma dirección. En el ejemplo anterior, transportar un vector que apunta desde Ecuador a Gabón por el camino más corto (camino rojo en la figura siguiente) y transportarlo por el Polo Norte (camino verde) da una diferencia de 90º.

Por lo tanto, para ver la curvatura de un espacio 2D en un espacio plano de mayor dimensión, se requiere que este espacio sea 3D. Pero como se describió anteriormente, vidente la curvatura no es necesaria para medirla.

Además, para ver la curvatura de un espacio 3D en un espacio plano de mayor dimensión, en realidad 4D no sería suficiente: necesitarías 6 dimensiones. Y para ver un espacio 4D (por ejemplo, el espacio-tiempo), necesitaría 10 dimensiones. Pero al igual que en el caso 2D, no es necesario, y que yo sepa (pero corríjanme si me equivoco) nadie afirma la existencia de dimensiones tan superiores.

Medir la curvatura en la práctica

En la práctica, no es así como medimos la curvatura de nuestro Universo. Más bien, usamos la ecuación de Friedmann que da la relación entre la tasa de expansión $ H $ del Universo, los parámetros de densidad $ Omega_i $ de sus diversos componentes (materia oscura, materia normal, energía oscura y radiación) y su curvatura.

Los parámetros de densidad se definen como las densidades $ rho_i $, dividido por el densidad critica $ rho_c $, que es la densidad necesaria para un universo plano. Si la densidad total $ rho_ mathrm {tot} $ es mayor que $ rho_c $ - es decir, si $ Omega_ mathrm {tot} equiv sum_i Omega_i> 1 $ - el universo está cerrado. Aunque la "curvatura" no es realmente un componente del Universo (como por ejemplo, la materia), puede parametrizarse como una densidad correspondiente y, por lo tanto, en la ecuación de Friedmann, aparecer como un término $ Omega_K equiv 1 - Omega_ mathrm {tot} $: $$ frac {H ^ 2 (a)} {H_0 ^ 2} = frac { Omega_ mathrm {r}} {a ^ 4} + frac { Omega_ mathrm {M}} {a ^ 3 } + frac { Omega_K} {a ^ 2} + Omega_ Lambda. $$ Aquí, subíndices $0$ referirse a los valores medidos hoy, mientras que en general los valores se miden en un momento en que factor de escala - el "tamaño" del Universo - es $ a $. Subíndices $ r $, $ M $, y $ Lambda $ denotan radiación, materia (oscura + normal) y energía oscura.

Por lo tanto, midiendo las densidades y tasas de expansión (preferiblemente en varias épocas dadas por $ a $) Te contaré $ K $. Esto se puede hacer de varias formas diferentes, p. Ej. observando los brillos de las supernovas, el fondo cósmico de microondas, la estructura a gran escala del Universo, los cúmulos de galaxias con lentes gravitacionales, etc.

Afortunadamente, los diversos métodos más o menos independientes devuelven aproximadamente la misma respuesta. Y esta respuesta parece implicar que nuestro Universo es muy plano; dentro de los márgenes de los errores, es consistente con ser exactamente plano (Planck Collaboration et al.2018). Por lo tanto, para la mayoría de los propósitos prácticos, podemos considerar el Universo como plano. Sin embargo, recientemente apareció un artículo de di Valentino et al. (2019) afirmando evidencia de un Universo positivamente curvado (es decir, cerrado). Pero consideraron solo uno de los muchos conjuntos de datos de Planck, por lo que me parece un poco selectivo.